BOJ 6064 나머지 정리

문제

 

최근에 ICPC 탐사대는 남아메리카의 잉카 제국이 놀라운 문명을 지닌 카잉 제국을 토대로 하여 세워졌다는 사실을 발견했다. 카잉 제국의 백성들은 특이한 달력을 사용한 것으로 알려져 있다. 그들은 M과 N보다 작거나 같은 두 개의 자연수 x, y를 가지고 각 년도를 <x:y>와 같은 형식으로 표현하였다. 그들은 이 세상의 시초에 해당하는 첫 번째 해를 <1:1>로 표현하고, 두 번째 해를 <2:2>로 표현하였다. <x:y>의 다음 해를 표현한 것을 <x':y'>이라고 하자. 만일 x < M 이면 x' = x + 1이고, 그렇지 않으면 x' = 1이다. 같은 방식으로 만일 y < N이면 y' = y + 1이고, 그렇지 않으면 y' = 1이다. <M:N>은 그들 달력의 마지막 해로서, 이 해에 세상의 종말이 도래한다는 예언이 전해 온다. 

예를 들어, M = 10 이고 N = 12라고 하자. 첫 번째 해는 <1:1>로 표현되고, 11번째 해는 <1:11>로 표현된다. <3:1>은 13번째 해를 나타내고, <10:12>는 마지막인 60번째 해를 나타낸다. 

네 개의 정수 M, N, x와 y가 주어질 때, <M:N>이 카잉 달력의 마지막 해라고 하면 <x:y>는 몇 번째 해를 나타내는지 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력 데이터는 표준 입력을 사용한다. 입력은 T개의 테스트 데이터로 구성된다. 입력의 첫 번째 줄에는 입력 데이터의 수를 나타내는 정수 T가 주어진다. 각 테스트 데이터는 한 줄로 구성된다. 각 줄에는 네 개의 정수 M, N, x와 y가 주어진다. (1 ≤ M, N ≤ 40,000, 1 ≤ x ≤ M, 1 ≤ y ≤ N) 여기서 <M:N>은 카잉 달력의 마지막 해를 나타낸다.

출력

출력은 표준 출력을 사용한다. 각 테스트 데이터에 대해, 정수 k를 한 줄에 출력한다. 여기서 k는 <x:y>가 k번째 해를 나타내는 것을 의미한다. 만일 <x:y>에 의해 표현되는 해가 없다면, 즉, <x:y>가 유효하지 않은 표현이면, -1을 출력한다.

예제 입력 1 복사

3 10 12 3 9 10 12 7 2 13 11 5 6

예제 출력 1 복사

33 -1 83

 

https://www.acmicpc.net/problem/6064

6064번: 카잉 달력

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해설

 

처음에 문제를 풀 땐, 단순하게 완전 탐색을 이용하려 했지만, 실제 입력값의 범위가 크기 때문에 시간 초과가 발생하고 만다. 그래서 수학적으로 생각한 게 처음 풀이인 "카잉달력.java"인데 주석에 달려있듯 두 식을 번갈아 비교하면서, 더 작은 쪽의 i 혹은 j를 +1해주다 보면 두 값이 같아질 때가 바로 결과값이 된다.

 

그리고 "카잉달력_2.java"는 나머지 정리를 통한 풀이인데, 위 카잉달력 같은 문제의 경우 수의 범위가 1~m까지란 걸 확인할 수 있다. 이는 0 ~ m-1까지인 m의 나머지와 똑같은 범위를 갖게 되므로, 구하고자 하는 값에 -1을 해줘 나머지 연산 형태로 계산하고 추후에 결과값에 다시 +1을 해주면 된다. 

 

느낀 점

• 이 문제와 같이 건너 뛰면서 답을 찾아가야 하는 문제를 마주쳤을 땐, 나머지 정리를 떠올려 풀도록 하자.